克魯斯卡爾最小生成樹過程(克魯斯卡爾算法例題圖解)

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什么是布魯斯卡爾算法

布魯斯卡爾算法是一種用來尋找最小生成樹最常用的算法，在剩下的所有未選取的邊中，找到最小邊，如果和已選取的邊構成回路，則放棄，選取次小邊。克魯斯卡爾算法的時間復雜度為O（eloge），因此它相對于普里姆算法而言，適合于求邊稀疏的網的最小生成樹。

克魯斯卡爾算法權值怎么看

克魯斯算法求最小生成樹基本思路簡而言之就是找邊

1）找權值最小的邊

2）假設選擇，判斷是否形成環路，如果是，則把權賦值為極大值，否則確認選擇

3）重復做1），2），直到所有的結點聯通

克魯斯卡爾和迪杰斯特拉算法區別

克魯斯卡爾（Kruskal）算法從另一途徑求網的最小生成樹。其基本思想是：假設連通網G=（V，E），令最小生成樹的初始狀態為只有n個頂點而無邊的非連通圖T=（V，{}），概述圖中每個頂點自成一個連通分量。在E中選擇代價最小的邊，若該邊依附的頂點分別在T中不同的連通分量上，則將此邊加入到T中；否則，舍去此邊而選擇下一條代價最小的邊。依此類推，直至T中所有頂點構成一個連通分量為止。

迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷蘭計算機科學家狄克斯特拉于1959年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是從一個頂點到其余各頂點的最短路徑算法，解決的是有權圖中最短路徑問題。迪杰斯特拉算法主要特點是從起始點開始，采用貪心算法的策略，每次遍歷到始點距離最近且未訪問過的頂點的鄰接節點，直到擴展到終點為止。

求最小生成樹問題常用的方法

主要有兩個：1.普里姆（Prim)算法特點：時間復雜度為O(n2).適合于求邊稠密的最小生成樹。

2.克魯斯卡爾（Kruskal)算法特點：時間復雜度為O(eloge)(e為網中邊數），適合于求稀疏的網的最小生成樹。Prim算法和Kruskal算法Prim算法逐次將最小權的邊和相應頂點加到集合中，適合于求邊稠密的最小生成樹；Kruskal算法先將所有邊都放入集合，然后再逐個選擇最小權的邊，適合于求稀疏的網的最小生成樹。詳細過程請參考相關資料Prim算法Kruskal算法

最小支撐樹的求解與證明

求解最小支撐樹的常見算法有普里姆（Prim）算法和克魯斯卡爾（Kruskal）算法。

1.普里姆算法：

-選擇一個起始頂點作為根節點，并將其加入最小支撐樹中。

-通過貪心策略，每次從已經加入最小支撐樹的頂點集合中選擇一個頂點v，并從與v相鄰的未加入樹的頂點集合中選擇一條權重最小的邊(u,v)。

-將邊(u,v)加入最小支撐樹，并將頂點v加入已加入樹的頂點集合中。

-重復上述步驟，直到所有的頂點都加入了最小支撐樹。

普里姆算法的正確性證明如下：

-首先，我們要證明最初生成的樹是一個連通樹。因為我們從一個起始頂點開始，每次選擇的邊連接已加入樹的頂點集合和未加入樹的頂點集合，所以樹始終保持連通。

-其次，我們要證明最小支撐樹的權重確實是最小的。假設存在另一棵權重更小的樹T'，則根據貪心策略，我們可以交換T'中某條邊和最小支撐樹中對應的邊，使得總權重更小。這與最小支撐樹的定義相矛盾，因此最小支撐樹的權重是最小的。

2.克魯斯卡爾算法：

-將圖中的所有邊按照權重從小到大進行排序。

-從權重最小的邊開始，依次將邊加入最小支撐樹中，如果加入該邊不會構成回路，則將其加入樹中。

-重復上述步驟，直到最小支撐樹中包含了圖中的所有頂點。

克魯斯卡爾算法的正確性證明如下：

-首先，我們要證明最終生成的樹是一個連通樹。在每一步中，我們選擇的邊不會構成回路，因此每次加入一條邊都會將兩個不同的連通分量連接起來，直到最終生成一個連通樹。

-其次，我們要證明最小支撐樹的權重確實是最小的。假設存在另一棵權重更小的樹T'，則根據排序的順序，我們可以找到T'中某條邊(e')，該邊在排序中先于當前考慮的邊(e)。由于克魯斯卡爾算法始終選擇權重最小的邊，所以T'中的邊(e')一定比(e)更早加入樹中。那么我們可以交換(e')和(e)，將(e')從T'中移除并替換為(e)，最終生成的樹仍然是連通的且權重更小。這與T'是最小支撐樹的假設相矛盾，因此最小支撐樹的權重是最小的。

總結起來，普里姆算法和克魯斯卡爾算法都通過貪心策略逐步構建最小支撐樹，并且都能保證得到最小權重的樹。具體選擇哪種算法取決于問題的特點和數據規模。