很多朋友對于構(gòu)造函數(shù)解不等式和抽象不等式中常見的構(gòu)造函數(shù)不太懂，今天就由小編來為大家分享，希望可以幫助到大家，下面一起來看看吧！
高中數(shù)學(xué)中，數(shù)列、不等式部分，為何感覺非常難，怎樣才能徹底掌握
數(shù)列本身就是一種容自然美和時代文明的具體體現(xiàn)。數(shù)列（sequenceofnumber）是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，是一列有序的數(shù)。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項。排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項（通常也叫做首項），排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項，以此類推，排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項，通常用an表示。
著名的數(shù)列有斐波那契數(shù)列，三角函數(shù)，卡特蘭數(shù)，楊輝三角等。
中文名
數(shù)列
外文名
sequenceofnumber
領(lǐng)域
數(shù)學(xué)
表示
an
釋義
以正整數(shù)集為定義域的函數(shù)
由來
三角形數(shù)
傳說古希臘畢達哥拉斯（約公元前570-約公元前500年）學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)。比如，他們研究過：
三角形點陣
由于這些數(shù)可以用如右圖所示的三角形點陣表示，他們就將其稱為三角形數(shù)。
正方形數(shù)
類似地，被稱為正方形數(shù)，因為這些數(shù)能夠表示成正方形。因此，按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。
概念
函數(shù)解釋
數(shù)列的函數(shù)理解：
①數(shù)列是一種特殊的函數(shù)。其特殊性主要表現(xiàn)在其定義域和值域上。數(shù)列可以看作一個定義域為正整數(shù)集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函數(shù)，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。
②用函數(shù)的觀點認識數(shù)列是重要的思想方法，一般情況下函數(shù)有三種表示方法，數(shù)列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法；b。圖像法；c.解析法。其中解析法包括以通項公式給出數(shù)列和以遞推公式給出數(shù)列。
③函數(shù)不一定有解析式，同樣數(shù)列也并非都有通項公式。
一般形式
數(shù)列的一般形式可以寫成
簡記為{an}。
項
數(shù)列中的項必須是數(shù)，它可以是實數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。
用符號{an}表示數(shù)列，只不過是“借用”集合的符號，它們之間有本質(zhì)上的區(qū)別：1.集合中的元素是互異的，而數(shù)列中的項可以是相同的。2.集合中的元素是無序的，而數(shù)列中的項必須按一定順序排列，也就是必須是有序的。
分類
（1）有窮數(shù)列和無窮數(shù)列：
項數(shù)有限的數(shù)列為“有窮數(shù)列”（finitesequence）；
項數(shù)無限的數(shù)列為“無窮數(shù)列”（infinitesequence）。
（2）對于正項數(shù)列：（數(shù)列的各項都是正數(shù)的為正項數(shù)列）
1）從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列；如：1，2，3，4，5，6，7；
2）從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；如：8，7，6，5，4，3，2，1；
3）從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列叫做擺動數(shù)列（搖擺數(shù)列）；
（3）周期數(shù)列：各項呈周期性變化的數(shù)列叫做周期數(shù)列（如三角函數(shù)）；
（4）常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列叫做常數(shù)數(shù)列（如：2，2，2，2，2，2，2，2，2）。
公式
（1）通項公式：數(shù)列的第N項an與項的序數(shù)n之間的關(guān)系可以用一個公式an=f(n)來表示，這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式，如。數(shù)列通項公式的特點：1）有些數(shù)列的通項公式可以有不同形式，即不唯一；2）有些數(shù)列沒有通項公式（如：素數(shù)由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。
（2）遞推公式：如果數(shù)列{an}的第n項與它前一項或幾項的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的遞推公式。數(shù)列遞推公式特點：1）有些數(shù)列的遞推公式可以有不同形式，即不唯一。2）有些數(shù)列沒有遞推公式，即有遞推公式不一定有通項公式。
等差數(shù)列
定義
一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列（arithmeticsequence），這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差（commondifference），公差通常用字母d表示，前n項和用Sn表示。等差數(shù)列可以縮寫為A.P.（ArithmeticProgression）[1]。
通項公式
an=a1+(n-1)d
其中，n=1時a1=S1；n≥2時an=Sn-Sn-1。
an=kn+b(k,b為常數(shù))推導(dǎo)過程：an=dn+a1-d令d=k，a1-d=b則得到an=kn+b。
等差中項
由三個數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列堪稱最簡單的等差數(shù)列。這時，A叫做a與b的等差中項（arithmeticmean）。有關(guān)系：A=(a+b)÷2。
前n項和
倒序相加法推導(dǎo)前n項和公式：
Sn=a1+a2+a3+·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d]①
Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d]②
由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)（n個）=n(a1+an)
∴Sn=n(a1+an)÷2。
等差數(shù)列的前n項和等于首末兩項的和與項數(shù)乘積的一半：
Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2
Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)
亦可得
a1=2sn÷n-an
an=2sn÷n-a1
有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1
性質(zhì)
（1）任意兩項am，an的關(guān)系為：an=am+(n-m)d，它可以看作等差數(shù)列廣義的通項公式。
（2）從等差數(shù)列的定義、通項公式，前n項和公式還可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k∈N*。
（3）若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，則有am+an=ap+aq。
（4）對任意的k∈N*，有Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…成等差數(shù)列。
應(yīng)用
日常生活中，人們常常用到等差數(shù)列如：在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級別時，當其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時，常按等差數(shù)列進行分級。若為等差數(shù)列，且有an=m，am=n，則am+n=0。其于數(shù)學(xué)的中的應(yīng)用，可舉例：快速算出從23到132之間6的整倍數(shù)有多少個，算法不止一種，這里介紹用數(shù)列算令等差數(shù)列首項a1=24（24為6的4倍），等差d=6；于是令an=24+6(n-1)<=132即可解出n=19。
等比數(shù)列
定義
一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列（geometricsequence）。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比（commonratio），公比通常用字母q表示。
等比數(shù)列可以縮寫為G.P.（GeometricProgression）。
等比中項
如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項。
有關(guān)系：；。
注：兩個非零同號的實數(shù)的等比中項有兩個，它們互為相反數(shù)，所以是a、G、b三數(shù)成等比數(shù)列的必要不充分條件。
通項公式
（其中首項是，公比是q）；
(n≥2)。
前n項和
當q≠1時，等比數(shù)列的前n項和的公式為：；
當q=1時，等比數(shù)列的前n項和的公式為：；
前n項和與通項的關(guān)系：；（n≥2）。
性質(zhì)
（1）若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則；
（2）在等比數(shù)列中，依次每k項之和仍成等比數(shù)列。
（3）從等比數(shù)列的定義、通項公式、前n項和公式可以推出：
（4）等比中項：q、r、p成等差數(shù)列，則，則為等比中項。
記，則有。
另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底對數(shù)后構(gòu)成一個等差數(shù)列；反之，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造冪，則是等比數(shù)列。在這個意義下，我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的。
(5)等比數(shù)列前n項之和；
(6)任意兩項的關(guān)系為；
(7)在等比數(shù)列中，首項與公比q都不為零。
應(yīng)用
等比數(shù)列在生活中也是常常運用的。如：銀行有一種支付利息的方式---復(fù)利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息，也就是人們通常說的利滾利。按照復(fù)利計算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期。
等和數(shù)列
“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和。
對一個數(shù)列，如果其任意的連續(xù)k（k≥2）項的和都相等，我們就把此數(shù)列叫做等和數(shù)列，它的性質(zhì)是：必定是循環(huán)數(shù)列。
不等式的特點與規(guī)律
數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)研究的核心內(nèi)容之一，數(shù)量關(guān)系既包括等量關(guān)系，也包括不等量關(guān)系，與刻畫等量關(guān)系的等式、方程、函數(shù)等模型不同，不等式則是刻畫普通存在的不等關(guān)系的典型模型。理解進而掌握不等式模型，不僅可以深化對等式、方程等模型的理解，而且可以豐富自己的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定重要基礎(chǔ)。為此，我們必須努力做到以下三個方面。
一、理解不等關(guān)系：不等關(guān)系與相等關(guān)系既是矛盾對立的，也是相互統(tǒng)一的。
事實上，對于兩個量a、b之間的不等關(guān)系a>b，如果我們引入一個實數(shù)，使得，那么，，即是一個正數(shù)，從而不等關(guān)系a>b可以等價地轉(zhuǎn)化為相等關(guān)系（其中是一個正數(shù)）。
二、理解不等式的基本性質(zhì)：對此我們可以從以下三個方面進行思考
1、類比等式性質(zhì)理解和掌握不等式性質(zhì)：等式有很多基本的性質(zhì)，不等式也是如此。在理解不等式的基本性質(zhì)時，我們可以借助類比的思想，對照等式相應(yīng)的性質(zhì)，感受不等式的基本性質(zhì)。
但是，對于性質(zhì)3“不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變”，我們要知道這時不等號的類別不變，但方向改為原來的相反方向，即<、>、、依次改為。這是等式里所沒有的，解不等式時尤其要注意這一點。
2、能夠初步證明不等式的有關(guān)性質(zhì)：利用“（其中是一個正數(shù)）”，我們可以很簡捷地證明不等式的三個基本性質(zhì)。
例如，對于性質(zhì)1“若a>b，則”，因“（其中是一個正數(shù)）”，于是，由等式性質(zhì)，得，即，從而必有。同樣地，對于性質(zhì)2和性質(zhì)3，利用“（其中是一個正數(shù)）”也能很容易地證明。
3、能夠利用不等式的性質(zhì)解決有關(guān)問題：解不等式的過程，實際上就是利用不等式的基本性質(zhì)以及相關(guān)的法則將不等式變形的過程。我們可以類比解一元一次方程（組）的過程解一元一次不等式（組）。當然，二者最大的不同在于不等號的變化，解方程（組）時不會涉及這一點。
三、理解與不等式有關(guān)的建模思想
在運動變化過程中，如果用函數(shù)模型刻畫運動變化的兩個變量x、y之間的關(guān)系，那么，方程模型刻畫的是x、y變化過程中某一瞬間的情況，而不等式模型刻畫的是變化過程中x、y之間的大小關(guān)系，是更普遍存在的狀態(tài)。建立不等式模型，需要我們將現(xiàn)實問題“數(shù)學(xué)化”，即根據(jù)問題情境中的數(shù)量關(guān)系，列出不等式，進而解不等式，最后還要將結(jié)果“翻譯”到現(xiàn)實問題中，檢驗其是否符合實際意義。
例某服裝廠生產(chǎn)西裝和領(lǐng)帶，每套西裝定價200元，每條領(lǐng)帶定價40元。廠方在促銷期間，向客戶提供兩種優(yōu)惠方案：（1）買1套西裝送1條領(lǐng)帶；（2）西裝和領(lǐng)帶均按定價的90%付款（即打九折）。某商店老板要到該服裝廠購買20套西裝和x（x>20）條領(lǐng)帶。請你根據(jù)x的不同情況，幫助老板選擇最省錢的購買方案。
解：按方案（1）購買，應(yīng)付款：
（元）。
按方案（2）購買，應(yīng)付款：
（元）。
由，得，即時，選方案（1）比選方案（2）省錢。同理，當x=100時，選方案（1）與選方案（2）付款相同；當x>100時，選方案（2）比選方案（1）省錢。
若想既獲得廠方贈送的領(lǐng)帶，同時又享受九折優(yōu)惠，可將兩個方案綜合，設(shè)計出方案（3）：
先按方案（1）購買20套西裝并獲贈20條領(lǐng)帶，然后按方案（2）購買余下的條領(lǐng)帶。
此時，應(yīng)付款：（元）。
方案（3）與方案（2）比較，顯然按方案（3）購買較省錢。方案（3）與方案（1）比較，由，得，解得x>20。故當x>20時，方案（3）比方案（1）省錢。綜上所述，當x>20時，按方案（3）購買最省錢。
所以說學(xué)好數(shù)列和不等式既是對高考有所幫助又對未來的生活有些諸多息息相關(guān)的影響力，學(xué)生為什么不能夠清楚徹底地掌握數(shù)列與不等式呢，并且覺得學(xué)好這兩個知識點很難的源頭，我覺得主要還是在老師的耐心引導(dǎo)和對于知識的疏通上出了問題。
這起碼反映了一個問題，學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)一沒有信心，二沒有興趣，就更不要談學(xué)習(xí)成績了。這樣的學(xué)生每天都是在應(yīng)付老師布置的作業(yè)和提問，學(xué)跟沒學(xué)一個樣。那如何讓學(xué)生有興趣，讓家長和老師都不要管，學(xué)生還能夠非常自覺地學(xué)習(xí)呢？我想每個出色的老師都有自己的一套辦法。要知道我是用了什么奇招妙法讓我所帶的每個班每個學(xué)生都能夠自覺學(xué)習(xí)，不恥下問呢？咋們下回再仔細道來，謝謝大家的厚愛和關(guān)注！謝謝！
不等式規(guī)律
數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)研究的核心內(nèi)容之一，數(shù)量關(guān)系既包括等量關(guān)系，也包括不等量關(guān)系，與刻畫等量關(guān)系的等式、方程、函數(shù)等模型不同，不等式則是刻畫普通存在的不等關(guān)系的典型模型。理解進而掌握不等式模型，不僅可以深化對等式、方程等模型的理解，而且可以豐富自己的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定重要基礎(chǔ)。為此，我們必須努力做到以下三個方面。
一、理解不等關(guān)系
不等關(guān)系與相等關(guān)系既是矛盾對立的，也是相互統(tǒng)一的。
二、理解不等式的基本性質(zhì)
對此我們可以從以下三個方面進行思考1、類比等式性質(zhì)理解和掌握不等式性質(zhì)等式有很多基本的性質(zhì)，不等式也是如此。在理解不等式的基本性質(zhì)時，我們可以借助類比的思想，對照等式相應(yīng)的性質(zhì)，感受不等式的基本性質(zhì)。但是，對于性質(zhì)3“不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變”，我們要知道這時不等號的類別不變，但方向改為原來的相反方向，這是等式里所沒有的，解不等式時尤其要注意這一點。
2、能夠初步證明不等式的有關(guān)性質(zhì)。
3、能夠利用不等式的性質(zhì)解決有關(guān)問題解不等式的過程，實際上就是利用不等式的基本性質(zhì)以及相關(guān)的法則將不等式變形的過程。我們可以類比解一元一次方程（組）的過程解一元一次不等式（組）。當然，二者最大的不同在于不等號的變化，解方程（組）時不會涉及這一點。
三、理解與不等式有關(guān)的建模思想在運動變化過程中，如果用函數(shù)模型刻畫運動變化的兩個變量x、y之間的關(guān)系，那么，方程模型刻畫的是x、y變化過程中某一瞬間的情況，而不等式模型刻畫的是變化過程中x、y之間的大小關(guān)系，是更普遍存在的狀態(tài)。建立不等式模型，需要我們將現(xiàn)實問題“數(shù)學(xué)化”，即根據(jù)問題情境中的數(shù)量關(guān)系，列出不等式，進而解不等式，最后還要將結(jié)果“翻譯”到現(xiàn)實問題中，檢驗其是否符合實際意義。
泛函不等式定理
泛函不等式新進展
俄羅斯人民友誼大學(xué)的客座教授DurvudkhanSuragan和他的團隊已經(jīng)得到并證明了一類新的泛函不等式。哈代不等式是一類數(shù)學(xué)物理中重要的問題。研究的結(jié)果發(fā)表在《數(shù)學(xué)進展》(AdvancesinMathematics)雜志上。
所謂哈代不等式(Hardy'sinequalities)的性質(zhì)已經(jīng)被全世界的數(shù)學(xué)家研究了將近一個世紀。它們是級數(shù)和積分之間某種特定的關(guān)系。在泛函分析中哈代不等式被當做工具用來研究數(shù)學(xué)和力學(xué)中的很多問題。同時在退化微分方程理論（橢圓型偏導(dǎo)數(shù)）、譜理論、非線性分析以及插值理論中具有應(yīng)用。
哈代不等式的以及其他的類似問題的研究主要是在歐幾里得向量空間中進行的。
從更高等的數(shù)學(xué)角度來看，歐幾里得空間是一個給定點乘運算的集合，集合可以由任意元素構(gòu)成。二維和三維空間是歐幾里得空間中特殊的情況。魯?shù)麓髮W(xué)的團隊拓展了哈代不等式的理論，通過一種更復(fù)雜的數(shù)學(xué)對象——齊性拓撲群來進行研究。
一個集合被稱作拓撲群，如果它既是一個拓撲空間也是一個群，同時乘積算子和取逆元素的運算是連續(xù)的。一類擁有特殊性質(zhì)的子集（拓撲）構(gòu)成了拓撲空間。除了這些子集，拓撲包括了任意數(shù)量的這些子集的并集，，以及交集（僅限于有限個子集）和空集。一個群結(jié)構(gòu)的存在意味著這個集合有著相關(guān)的代數(shù)運算，它包括所謂的“恒等元”（在乘法中有1的性質(zhì)），以及所有的元素都有逆元。
現(xiàn)有的在一個齊性拓撲群中建立泛函不等式方法是基于研究范數(shù)的性質(zhì)。數(shù)學(xué)中的范數(shù)是一個滿足特定要求的非負復(fù)合函數(shù)。復(fù)數(shù)的模和向量長度是簡單的范數(shù)例子。研究作者提出的新方法允許使用隨機范數(shù)，而不是過去使用的嚴格確定和固定復(fù)合函數(shù)。
團隊的研究結(jié)果是在齊性群上建立了一類新的哈代不等式類型。它的一個特殊應(yīng)用就是阿貝爾群上的分析學(xué)。阿貝爾性（或者交換性）表現(xiàn)為一個群運算的結(jié)果獨立于元素的順序。一個關(guān)于交換性的特殊例子就是眾所周知的法則“改變求和數(shù)的求和順序不會改變和”。科學(xué)家指出最新的取得公認的不等式可能被應(yīng)用在非線性微分方程理論中。
不等式的解題方法與技巧公式
解不等式方法與解方程基本一樣，1，去分母，2，去括號，3移項，4，合并同類項，5把未知數(shù)系數(shù)化為1。
不同的是：當不等式兩邊同時乘或除以一個負數(shù)，不等號方向改變。如一5x＞5，x＜一1
高中不等式解題技巧
1高中不等式解題需要掌握一定的技巧和方法，否則難以解決問題。2解決不等式問題需要注意以下幾點：（1）要確定不等式的類型（大于、小于、大于等于、小于等于）；（2）要對不等式兩邊同時進行相同的操作，以保證不等式的不等性質(zhì)不變；（3）要根據(jù)題目給出的條件，選用合適的方法進行解題，如分離變量、配方法、平方取正等。3在實際解題過程中，還需要注意一些細節(jié)問題，如注意分母為零的情況、注意絕對值的性質(zhì)、注意做題的時間和精力分配等。綜上所述，高中不等式解題需要掌握一定的技巧和方法，只有熟練掌握這些技巧，才能在考試中得心應(yīng)手。
關(guān)于本次構(gòu)造函數(shù)解不等式和抽象不等式中常見的構(gòu)造函數(shù)的問題分享到這里就結(jié)束了，如果解決了您的問題，我們非常高興。
