大家好，關于冪函數求導公式證明很多朋友都還不太明白，不過沒關系，因為今天小編就來為大家分享關于冪函數的n階導數公式的知識點，相信應該可以解決大家的一些困惑和問題，如果碰巧可以解決您的問題，還望關注下本站哦，希望對各位有所幫助！
冪次函數的導數
冪函數導數公式的證明：
y=x^a
兩邊取對數lny=alnx
兩邊對x求導(1/y)*y'=a/x
所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)
在這個過程之中：
1、lny首先是y的函數，y又是x的函數，所以，lny也是x的函數。
2、lny是一目了然的，是顯而易見的，是直截了當的，所以稱它為顯函數，explicitfunction。
3、設u=lny，u是y的顯函數，它也是x的函數，由于是隱含的，稱為隱函數，implicit。
4、u對y求導是1/y，這是對y求導，不是對x求導。
5、u是x的隱函數，u對x求導，用鏈式求導，chainrule。
6、u對x的求導，是先對y求導，然后乘上y對x的求導，也就是：
du/dy=1/y
du/dx=(du/dy)×(dy/dx)=(1/y)×y'=(1/y)y'。
冪函數求導公式
(x^a)'=ax^(a-1)
證明：y=x^a
兩邊取對數lny=alnx
兩邊對x求導(1/y)*y'=a/x
所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)
y=a^x
兩邊同時取對數：
lny=xlna
兩邊同時對x求導數：
==>y'/y=lna
==>y'=ylna=a^xlna
冪函數：一般的，形如y=x(a為實數)的函數，即以底數為自變量，冪為因變量，指數為常量的函數稱為冪函數。例如函數y=xy=x、y=x、y=x(注:y=x=1/xy=x時x≠0)等都是冪函數。當a取非零的有理數時是比較容易理解的，而對于a取無理數時，初學者則不大容易理解了。
x次方的求導方法
求解x的n次方的導數可以使用冪函數的導數公式。根據公式，如果f(x)=x^n，那么f'(x)=n*x^(n-1)。這意味著導數是原指數減一乘以原指數的系數。
例如，如果要求解x的平方的導數，即f(x)=x^2，那么f'(x)=2*x^(2-1)=2x。
同樣地，如果要求解x的三次方的導數，即f(x)=x^3，那么f'(x)=3*x^(3-1)=3x^2。這個規律可以應用到任意次方的導數求解中。
冪指數求導公式
冪指函數求導公式：通過公式a^b=e^(blna)變形后再對方程度兩邊同時求導；通過公式a^b=e^(blna)變形后再對方程兩邊同時對x求導，把y看做成常數。需要a^b=e^(blna)的公式變換，公式變換后，再對方程兩邊求導。
冪指函數既像冪函數，又像指數函數，二者的特點兼而有之。作為冪函數，其冪指數確定不變，而冪底數為自變量；相反地，指數函數卻是底數確定不變，而指數為自變量。冪指函數就是冪底數和冪指數同時都含有自變量的函數。這種函數的推廣，就是廣義冪指函數。
冪函數的導數基本公式
(x^a)'=ax^(a-1)
證明：y=x^a
兩邊取對數lny=alnx
兩邊對x求導(1/y)*y'=a/x
所以y'=ay/x=ax^a/x=ax^(a-1)
y=a^x
兩邊同時取對數：
lny=xlna
兩邊同時對x求導數：
==>y'/y=lna
==>y'=ylna=a^xlna
冪函數：一般的，形如y=x(a為實數)的函數，即以底數為自變量，冪為因變量，指數為常量的函數稱為冪函數。例如函數y=xy=x、y=x、y=x(注:y=x=1/xy=x時x≠0)等都是冪函數。當a取非零的有理數時是比較容易理解的，而對于a取無理數時，初學者則不大容易理解了。因此，在初等函數里，我們不要求掌握指數為無理數的問題，只需接受它作為一個已知事實即可，因為這涉及到實數連續性的極為深刻的知識
關于冪函數求導公式證明的內容到此結束，希望對大家有所幫助。
